Polar Decomposition

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈpoʊlər ˌdiːkɑːmpəˈzɪʃən/

定义 Definition

极分解（polar decomposition）：线性代数中的一种矩阵分解方法，把一个矩阵表示为“正交/酉矩阵（表示旋转或反射）”与“对称正定/厄米正定矩阵（表示拉伸）”的乘积。常见形式为

实数情形：\(A = QP\)，其中 \(Q\) 为正交矩阵，\(P\) 为对称正定矩阵
复数情形：\(A = UH\)，其中 \(U\) 为酉矩阵，\(H\) 为厄米正定矩阵
（在某些条件下分解唯一；若矩阵不可逆，相关因子可能不唯一。）

例句 Examples

We used polar decomposition to factor the matrix into a rotation and a stretch.
我们用极分解把矩阵分解为一个旋转（或反射）和一个拉伸。

In continuum mechanics and numerical linear algebra, polar decomposition helps separate rigid-body motion from deformation, improving interpretability and stability in computations.
在连续介质力学与数值线性代数中，极分解能把刚体运动与形变分开，有助于提高计算的可解释性与稳定性。

词源 Etymology

polar 源自“pole（极、极点）”，引申为“与极相关的、按极的方式表示的”；在数学里常带有“把对象分成方向（旋转）与大小（伸缩）两部分”的直观含义。decomposition 来自拉丁语 *de-*（分开）+ componere（组成），意为“分解”。合起来，polar decomposition 字面意思就是“以‘极（方向/大小）’的方式进行分解”。

文献与著作 Literary Works